Kate Mobile

К сожалению ВК удалили кэш аудио из всех приложений https://vk.com/wall-26062647_457402
Но песни, которые вы сохраняли, по-прежнему лежат в папке, которую вы выбирали для сохранения музыки. Вы можете их оттуда слушать любым проигрывателем. Или можете их удалить.
Если хотите можете установить старую версию в которой кэш ещё был http://katemobile.ru/dl/Kate_40.apk. Но я этого не рекомендую делать. Потому что музыка в старой версии может пропасть со временем. И в ней список аудиозаписей не полный. И оффлайн в ней не работает.

Такая возможность уже есть

Правильно ли я понял, вы предлагаете чтобы за это нам совсем отключили доступ к музыке. Не понятно, зачем тогда вам приложение совсем без музыки.

Всё правильно. Если мы будем позволять скачивать песни и незаконно их распростанять, то нам отключат доступ к музыке. Не знаю, нужно ли нам приложение совсем без музыки. Какой смысл тогда от скачивания если скачивать в приложении будет нечего. Может лучше всё-таки сохранить музыку в приложении, а скачивать какими-то другими средствами. При желании не сложно найти где скачать музыку кроме Кейта.
Если хотите можете установить старую версию в которой такая возможность ещё была http://katemobile.ru/dl/Kate_40_3.apk. Но я этого не рекомендую делать. Потому что музыка в старой версии может пропасть со временем. И в ней список аудиозаписей не полный. И оффлайн очень ограниченный.